C. Cieśliński, "Heterologicality and incompleteness"

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Is "heterological" heterological?

そうであるならそうでない(自己記述的)し，そうでないならそうである．

Introduction

意味論の観点から不完全性定理をより吟味することで明瞭になってくるだろう．

少なくとも，著者や，例えばHenryk Kotlarskiなどは．

3章では算術での証明を行う．

J-L. Krivine; "Théorie axiomatique des ensembles"と呼ばれるものに沿って公理的集合論の不完全性定理の証明を行っているっぽいのだが，そもｓもフランス語っぽくて全くわからない．

モデル理論的観点からの不完全性定理などの知識がないと読むのキツイ気がする．今後読もう．

Sect 2.

Def: モデル

$ \mathcal{M} = \lang |\mathcal{M}|, R \rangをモデルと呼ぶ．

$ R \sube |M|^2で，$ Rの代わりに$ \in_\mathcal{M}と書く．

Def 1:

$ \mathcal{M}が$ \mathcal{N}の部分モデルである$ \iff$ |\mathcal{M}| \sube |\mathcal{N}|かつ$ \in_\mathcal{M} = \in_\mathcal{N} \cap |\mathcal{M}|^2

$ \mathcal{M}が$ \mathcal{N}の推移的部分モデルである$ \iff

$ \mathcal{M}が$ \mathcal{N}の部分モデルかつ，

任意の$ m \in |\mathcal{M}|, n \in |\mathcal{N}|に対して$ \mathcal{N} \vDash n \in m \implies n \in |\mathcal{M}|

$ TをZF集合論の言語$ \mathscr{L}_\mathsf{ZF}上の，$ \sf ZFを含む理論とする．

よく知られている事実として，論理式は遺伝的有限集合として識別出来る．

すなわち，$ V_\omegaの要素として．

SnO2WMaN.icon？

Lem 1

任意の$ Tのモデル$ \mathcal{M}について，$ \mathcal{M}と同型なモデル$ \mathcal{M}_1が存在し，$ \lang V_\omega, \in \rangは$ \mathcal{M}_1の推移的部分モデルとなる．